第5章 土的抗剪强度 - 习题

土的抗剪强度：土在剪切荷载作用下抵抗剪切破坏的能力，是土的重要力学性质之一。

影响土的抗剪强度的主要因素：

• 土的组成：土颗粒的大小、形状、矿物成分、级配等
• 土的物理状态：密度（孔隙比）、含水量、饱和度等
• 应力状态：法向应力大小、应力历史等
• 试验条件：排水条件、剪切速率等
• 时间因素：蠕变、长期强度等
• 扰动程度：土样扰动会降低抗剪强度

库伦抗剪强度理论：1776年由法国科学家库伦提出，认为土的抗剪强度由内摩擦力和粘聚力两部分组成，表达式为：τf = σtanφ + c

莫尔-库伦强度理论：1900年莫尔在库伦理论基础上发展而来，认为土的破坏是剪切破坏，当某一平面上的剪应力达到土的抗剪强度时发生破坏。

相同点：

• 都认为土的抗剪强度由内摩擦力和粘聚力组成
• 都采用τf = σtanφ + c作为抗剪强度表达式
• 都适用于一般工程实践

不同点：

• 理论基础：库伦理论是经验公式；莫尔-库伦理论基于应力状态分析
• 适用条件：库伦理论假设剪切破坏发生在特定平面；莫尔-库伦理论认为破坏发生在剪应力最大的平面
• 复杂程度：库伦理论简单直观；莫尔-库伦理论更全面，考虑了应力状态的影响
• 应用范围：莫尔-库伦理论应用范围更广，可用于分析复杂应力状态下的土力学问题

不排水抗剪强度：在剪切过程中不允许土样排水的条件下测得的抗剪强度，用cu表示，对应的强度指标为不排水内摩擦角φu（通常为0）和粘聚力cu。

排水抗剪强度：在剪切过程中允许土样充分排水的条件下测得的抗剪强度，对应的强度指标为有效内摩擦角φ'和有效粘聚力c'。

工程应用：

不排水抗剪强度主要应用于：

• 快速施工的短期稳定性分析（如临时边坡、快速加载的地基）
• 饱和软粘土地基的短期承载力计算
• 地震作用下的地基液化分析

排水抗剪强度主要应用于：

• 长期稳定性分析（如永久性边坡、长期使用的建筑物地基）
• 正常固结土和超固结土的承载力计算
• 渗流稳定分析

直剪试验：

优点：

• 设备简单，操作方便
• 试样制备容易
• 测试时间较短
• 成本较低

缺点：

• 剪切面固定，不一定是最弱面
• 应力状态不均匀
• 排水条件难以控制
• 不能测孔隙水压力

适用条件：适用于一般工程勘察和初步设计阶段，尤其适用于渗透性较大的土。

三轴试验：

优点：

• 应力状态明确，可模拟复杂应力条件
• 剪切面为最弱面
• 排水条件可严格控制
• 可测孔隙水压力
• 测试结果更可靠

缺点：

• 设备复杂，操作技术要求高
• 试样制备困难
• 测试时间长
• 成本较高

适用条件：适用于重要工程、研究工作和复杂地质条件，尤其适用于细粒土和特殊土。

解：

1. 计算抗剪强度τf：

τf = c + σtanφ = 20 + 100×tan20°

tan20° ≈ 0.3640

τf = 20 + 100×0.3640 = 20 + 36.40 = 56.40 kPa

2. 判断是否发生剪切破坏：

当剪应力τ=50kPa时，τ < τf（50 < 56.40），所以该土样不会发生剪切破坏。

答案：抗剪强度τf=56.40kPa；当剪应力τ=50kPa时，土样不会发生剪切破坏。

解：

根据库伦抗剪强度公式τf = c + σtanφ，通过线性回归分析四组试验数据：

假设τf = a + bσ，其中a = c，b = tanφ

计算线性回归系数：

Σσ = 50 + 100 + 150 + 200 = 500

Στf = 42 + 65 + 88 + 111 = 306

Σσ² = 50² + 100² + 150² + 200² = 2500 + 10000 + 22500 + 40000 = 75000

Σστf = 50×42 + 100×65 + 150×88 + 200×111 = 2100 + 6500 + 13200 + 22200 = 44000

n = 4

斜率b = (nΣστf - ΣσΣτf)/(nΣσ² - (Σσ)²) = (4×44000 - 500×306)/(4×75000 - 500²) = (176000 - 153000)/(300000 - 250000) = 23000/50000 = 0.46

截距a = (Στf - bΣσ)/n = (306 - 0.46×500)/4 = (306 - 230)/4 = 76/4 = 19 kPa

所以，粘聚力c = a = 19 kPa

内摩擦角φ = arctan(b) = arctan(0.46) ≈ 24.7°

答案：抗剪强度指标c≈19kPa，φ≈24.7°

解：

1. 计算不排水抗剪强度cu：

对于三轴UU试验，不排水抗剪强度cu = (σ1-σ3)/2 = 200/2 = 100 kPa

2. 计算CU试验破坏时的大主应力σ1和小主应力σ3：

根据有效应力原理，有效应力σ' = σ - u

破坏时，有效应力满足莫尔-库伦破坏准则：σ1' = σ3'tan²(45°+φ'/2) + 2c'tan(45°+φ'/2)

其中，φ' = 22°，c' = 5 kPa

tan(45°+22°/2) = tan(56°) ≈ 1.4826

tan²(56°) ≈ 2.1981

假设小主应力σ3 = p（围压），则σ3' = σ3 - u = p - 80

σ1' = (p - 80)×2.1981 + 2×5×1.4826 = 2.1981p - 175.848 + 14.826 = 2.1981p - 161.022

又σ1 = σ1' + u = 2.1981p - 161.022 + 80 = 2.1981p - 81.022

轴向应力差σ1 - σ3 = (2.1981p - 81.022) - p = 1.1981p - 81.022

假设围压p = 200 kPa（常见的三轴试验围压），则：

σ1 = 2.1981×200 - 81.022 = 439.62 - 81.022 = 358.598 kPa

σ3 = 200 kPa

答案：不排水抗剪强度cu=100kPa；破坏时的大主应力σ1≈358.6kPa，小主应力σ3=200kPa（假设围压为200kPa）

解：

采用简单条分法（Fellenius法）计算土坡稳定安全系数：

Fₛ = (抗滑力矩)/(滑动力矩) = (Σ(cΔl + Wcosθtanφ))/ΣWsinθ

对于均质土坡，假设滑动面为圆弧，圆心角为θ，半径为R，则：

简化计算，对于简单土坡，可采用以下公式估算：

Fₛ = (cγH + tanφ)/(tanβ)

其中：c=10kPa，γ=18kN/m³，H=5m，φ=20°，β=30°

tan20°≈0.3640，tan30°≈0.5774

Fₛ = (10×18×5 + 0.3640)/0.5774 （此公式有误，正确计算如下）

正确的简化公式为：Fₛ = (c + γHcos²βtanφ)/(γHsinβcosβ)

计算：

cosβ = cos30°≈0.8660，sinβ=sin30°=0.5

分子：c + γHcos²βtanφ = 10 + 18×5×0.8660²×0.3640 = 10 + 18×5×0.75×0.3640 = 10 + 24.552 = 34.552 kPa

分母：γHsinβcosβ = 18×5×0.5×0.8660 = 39.0 kPa

Fₛ = 34.552/39.0 ≈ 0.886

注：更准确的方法是使用条分法进行计算，但此处采用简化方法进行估算。

答案：土坡的稳定安全系数Fₛ≈0.89（小于1，土坡不稳定）

不同排水条件下土的抗剪强度特性：

1. 不排水条件（UU试验）：
   • 剪切过程中孔隙水压力不能消散
   • 有效应力保持不变
   • 对于饱和粘性土，不排水内摩擦角φu≈0
   • 抗剪强度主要由粘聚力cu提供
   • 抗剪强度随法向应力变化较小
2. 固结不排水条件（CU试验）：
   • 在围压下完全固结，剪切过程中不排水
   • 剪切过程中会产生孔隙水压力
   • 可测得总应力强度指标（cu, φu）和有效应力强度指标（c', φ'）
   • 抗剪强度随法向应力增加而增加
3. 排水条件（CD试验）：
   • 剪切过程中孔隙水压力完全消散
   • 总应力等于有效应力
   • 测得的是有效应力强度指标（c', φ'）
   • 抗剪强度随法向应力线性增加
   • 对于无粘性土，c'≈0，抗剪强度仅由内摩擦力提供

工程设计中抗剪强度指标的选择原则：

1. 根据加载速率和土的渗透性选择：
   • 快速加载（如地震、爆破）：采用不排水强度指标
   • 慢速加载（如建筑物施工）：采用排水强度指标
   • 透水性大的土（如砂土）：通常采用排水强度指标
   • 透水性小的土（如粘土）：需根据加载速率选择
2. 根据工程问题的性质选择：
   • 短期稳定性问题（如临时边坡）：采用不排水强度指标
   • 长期稳定性问题（如永久性建筑物）：采用排水强度指标
   • 地基承载力计算：根据荷载性质和时间选择
   • 边坡稳定分析：考虑施工和使用阶段的不同情况
3. 根据土的类别选择：
   • 无粘性土：主要考虑内摩擦角φ
   • 粘性土：同时考虑粘聚力c和内摩擦角φ
   • 软土：特别注意不排水强度的变化
4. 考虑工程经验和安全系数：
   • 重要工程：宜采用有效应力强度指标
   • 可根据类似工程经验调整安全系数
   • 结合现场测试和室内试验结果综合判断

可能原因分析：

1. 土的抗剪强度指标取值不当：
   • 勘察数据不准确
   • 未考虑实际排水条件
   • 强度指标测试方法不合适
2. 支护结构设计不合理：
   • 排桩间距过大
   • 桩径或桩长不足
   • 支撑系统刚度不够
3. 施工因素：
   • 开挖速度过快，未分层开挖
   • 超挖或欠挖
   • 未及时设置支撑
   • 桩身施工质量问题
4. 环境因素：
   • 地下水位变化
   • 周边建筑物或施工影响
   • 降雨或振动载荷

处理措施：

1. 紧急加固措施：
   • 在排桩内侧增设临时支撑或锚杆
   • 对变形较大区域进行回填反压
   • 设置临时降水井，降低地下水位
2. 支护结构加固：
   • 增加排桩数量或减小桩间距
   • 增设圈梁或腰梁，增强整体性
   • 对桩间土进行喷射混凝土护面
3. 调整施工方案：
   • 放缓开挖速度，严格分层开挖
   • 加强监测，实行信息化施工
   • 及时设置支撑，控制无支撑暴露时间
4. 长期处理措施：
   • 对支护结构进行永久加固
   • 优化支撑系统布置
   • 考虑地基处理，提高土的抗剪强度

路堑边坡设计方案：

1. 确定合理坡率：
   • 根据土的抗剪强度指标，采用圆弧滑动法计算不同坡率下的稳定安全系数
   • 对于高速公路路堑，要求稳定安全系数Fₛ≥1.3
   • 通过计算分析，对于给定条件的粉质粘土，合理坡率约为1:1.5（即β≈33.7°）
2. 分阶设计：
   • 8m高边坡可分为2阶，每阶高4m，阶宽2m
   • 每阶边坡坡率均采用1:1.5
   • 在阶面上设置截水沟，防止雨水冲刷
3. 提高边坡稳定性的工程措施：
• 坡面防护：
  • 采用挂网喷射混凝土防护
  • 铺设三维植被网，种植草皮
  • 设置浆砌片石护面墙
• 排水措施：
  • 在边坡顶部设置截水沟
  • 在边坡体内设置排水孔
  • 在阶面上设置排水沟
• 支挡结构：
  • 在边坡底部设置挡土墙
  • 采用土钉墙或锚杆加固
  • 设置抗滑桩（如需）
• 其他措施：
  • 进行边坡监测，设置位移观测点
  • 控制施工速度，分层开挖
  • 必要时进行超前支护

地基处理方案设计：

1. 原地基承载力计算：

   对于饱和软粘土，地基承载力特征值fₐ可按以下公式计算：

   fₐ = 5.14cu + γd

   假设基础埋深d=2m，则：

   fₐ = 5.14×30 + 17×2 = 154.2 + 34 = 188.2 kPa

   若基础埋深较浅，原地基可能不满足要求，需进行处理。

2. 地基处理方案：
• 方案一：水泥土搅拌桩复合地基
  • 桩径d=500mm，桩长l=8m（穿透软粘土层）
  • 桩间距s=1.2m，呈等边三角形布置
  • 置换率m=πd²/(2√3s²)=π×0.5²/(2√3×1.2²)≈0.25
  • 复合地基承载力特征值fₛₚₖ = m×fₚₖ + (1-m)×fₛₖ
  • 假设单桩承载力特征值fₚₖ=150kPa，处理后桩间土承载力fₛₖ=80kPa
  • fₛₚₖ = 0.25×150 + 0.75×80 = 37.5 + 60 = 97.5 kPa（需调整参数）
  • 调整桩间距至s=1.0m，置换率m≈0.37
  • fₛₚₖ = 0.37×150 + 0.63×80 = 55.5 + 50.4 = 105.9 kPa（仍需调整）
  • 进一步调整桩长至l=10m，单桩承载力提高至fₚₖ=200kPa
  • fₛₚₖ = 0.37×200 + 0.63×80 = 74 + 50.4 = 124.4 kPa（满足要求）
• 方案二：预压法处理地基
  • 采用真空预压法，预压荷载相当于80kPa
  • 设置塑料排水板，间距1.0m，深度10m
  • 预压时间3-4个月
  • 处理后软粘土的不排水抗剪强度可提高至cu'=cu(1+Δσ/σ'₀)
  • 假设预压效果良好，cu'=50kPa
  • 处理后地基承载力fₐ'=5.14×50 + 17×2=257 + 34=291kPa（满足要求）
3. 推荐方案：

   考虑工期和经济性，推荐采用水泥土搅拌桩复合地基方案，具体参数如下：

   • 桩径：500mm
   • 桩长：10m
   • 桩间距：1.0m（等边三角形布置）
   • 置换率：约37%
   • 处理后复合地基承载力：≥120kPa
4. 质量检测：
   • 进行复合地基载荷试验，验证承载力
   • 检测桩身强度和完整性
   • 进行沉降观测，确保满足变形要求