第3章 土中应力计算 - 习题

土的自重应力：由土体自身重量引起的应力称为土的自重应力。

特点：

• 自重应力随深度线性增加
• 在均匀土层中，自重应力分布曲线为直线
• 在多层土中，自重应力分布曲线为折线
• 地下水位以下的土，应采用有效重度计算自重应力
• 自重应力不会引起地基沉降

基底压力：基础底面与地基土之间的接触压力称为基底压力。

影响因素：

• 基础形状：条形基础、矩形基础、圆形基础等基底压力分布不同
• 基础刚度：刚性基础与柔性基础的基底压力分布差异较大
• 荷载大小与分布：中心荷载与偏心荷载对基底压力分布有显著影响
• 地基土性质：不同土类对基底压力分布的影响不同
• 基础埋深：埋深越大，基底压力分布越均匀

基本假设：

• 地基土是均质、各向同性的半无限弹性体
• 地基土表面水平且无限延伸
• 土的应力-应变关系符合虎克定律
• 在荷载作用前，地基土中应力为零

适用条件：

• 适用于均质弹性地基
• 适用于应力水平较低，地基土处于弹性变形阶段
• 对于深厚软土地基，需谨慎使用
• 不适用于地基土发生塑性变形的情况

附加应力：由建筑物等外荷载在地基土中引起的应力增量称为附加应力。

与地基沉降的关系：

• 附加应力是引起地基沉降的主要原因
• 地基沉降量与附加应力的大小和分布密切相关
• 根据附加应力分布和土的压缩特性，可以计算地基沉降
• 附加应力随深度增加而减小，因此地基沉降主要发生在一定深度范围内

解：

地下水位埋深3m，位于粉质粘土层内（第一层2m + 第二层1m）。

计算各层的自重应力：

• 第一层（杂填土，0-2m）：σ₁ = γ₁h₁ = 17 × 2 = 34 kPa
• 第二层（粉质粘土，2-3m，地下水位以上）：σ₂ = σ₁ + γ₂h₂ = 34 + 18 × 1 = 52 kPa
• 第二层（粉质粘土，3-5m，地下水位以下）：计算有效重度γ'₂ = γ₂ - γw = 18 - 10 = 8 kN/m³
  σ₃ = σ₂ + γ'₂h'₂ = 52 + 8 × 2 = 68 kPa
• 第三层（粉土，5-6m，地下水位以下）：计算有效重度γ'₃ = γ₃ - γw = 19 - 10 = 9 kN/m³
  σ₄ = σ₃ + γ'₃h'₃ = 68 + 9 × 1 = 77 kPa

答案：地表下6m处的自重应力为77 kPa

解：

基础底面积A = 4m × 6m = 24m²

基础及回填土的自重G = γG × A × d，其中γG取20kN/m³（基础及回填土平均重度）

G = 20 × 24 × 2 = 960 kN

中心荷载作用下的基底压力p = (F + G)/A = (3600 + 960)/24 = 4560/24 = 190 kPa

答案：中心荷载作用下的基底压力为190 kPa

解：

取单位长度（1m）计算：

基底压力p = (F + G)/b = (200 + 20×2×1×1.5)/2 = (200 + 60)/2 = 130 kPa

基底附加压力p₀ = p - γ₀d = 130 - 19×1.5 = 130 - 28.5 = 101.5 kPa

答案：基底附加压力为101.5 kPa

解：

基础底面积A = πr² = π×(3/2)² = 7.069 m²

基础顶面荷载F = 2700 kN

基础及回填土的自重G = 20×7.069×2 = 282.76 kN

基底压力p = (F + G)/A = (2700 + 282.76)/7.069 = 2982.76/7.069 = 422 kPa

基底附加压力p₀ = p - γ₀d = 422 - 18×2 = 422 - 36 = 386 kPa

对于圆形基础中心点，附加应力系数α = 3/[2π(1+(r/z)²)^(5/2)]，其中r为圆形基础半径，z为计算深度

r = 3/2 = 1.5m，z = 4m

r/z = 1.5/4 = 0.375

α = 3/[2π(1+0.375²)^(5/2)] = 3/[2π(1+0.1406)^(2.5)] = 3/[2π×1.1406^(2.5)]

1.1406^2.5 ≈ 1.1406^2 × √1.1406 ≈ 1.301 × 1.068 ≈ 1.390

α ≈ 3/[2π×1.390] ≈ 3/8.73 ≈ 0.344

附加应力σ_z = α×p₀ = 0.344×386 ≈ 132.8 kPa

答案：基础中心点下4m深度处的附加应力约为132.8 kPa

地下水位变化对自重应力的影响：

1. 地下水位上升：
   • 上升范围内的土由原来的天然重度变为有效重度，自重应力减小
   • 可能导致地基承载力降低
   • 对于膨胀土，可能引起膨胀变形
   • 对于湿陷性黄土，可能引起湿陷变形
2. 地下水位下降：
   • 下降范围内的土由原来的有效重度变为天然重度，自重应力增大
   • 可能导致地基沉降增加
   • 对于软土地基，可能加速固结
   • 可能引起地面沉降

工程实践中的考虑：

1. 进行详细的工程地质勘察，了解地下水位的历史变化和预测未来变化
2. 在设计中考虑地下水位变化的最不利情况
3. 采取措施控制地下水位，如设置防渗帷幕、排水系统等
4. 对于重要建筑物，进行长期监测
5. 选择合适的基础形式和埋深

可能原因：

1. 地基土承载力不足：
   • 地基土压缩性高，无法承受上部荷载
   • 基础底面积太小，基底压力超过地基承载力
2. 附加应力过大：
   • 建筑物荷载过大
   • 基础埋深过浅
3. 地基土不均匀：
   • 地基土存在软弱下卧层
   • 地基土压缩模量差异较大
4. 施工因素：
   • 地基土受到扰动
   • 地下水位变化

处理措施：

1. 增大基础面积：
   • 扩大基础底面积，减小基底压力
   • 改用筏板基础或箱形基础
2. 地基处理：
   • 采用换填法、强夯法等处理地基
   • 采用桩基础或复合地基
3. 减小荷载：
   • 调整建筑物结构，减小上部荷载
   • 采用轻质材料
4. 其他措施：
   • 设置沉降缝
   • 进行预压处理
   • 加强监测，及时采取补救措施

地基应力计算方案：

1. 计算基底压力：
   • 基础底面积A = 3m × 3m = 9m²
   • 基础及回填土的自重G = 20×9×2 = 360 kN
   • 基底压力p = (F + G)/A = (2000 + 360)/9 = 2360/9 = 262.2 kPa
2. 计算基底附加压力：
   • 基底附加压力p₀ = p - γ₀d = 262.2 - 17×2 = 262.2 - 34 = 228.2 kPa
3. 计算地基附加应力分布：
   • 采用角点法计算矩形基础下的附加应力
   • 计算不同深度处的附加应力，确定压缩层厚度
4. 计算地基沉降：
   • 分层总和法计算地基最终沉降量
   • 考虑应力历史和沉降计算经验系数

地基沉降趋势分析：

根据土层分布和计算结果，该地基沉降趋势主要表现为：

1. 由于存在5m厚的淤泥质粘土层（压缩模量低），地基沉降量较大
2. 沉降主要发生在淤泥质粘土层中
3. 由于淤泥质粘土的渗透性低，沉降过程可能持续较长时间
4. 建议采取地基处理措施，如预压、搅拌桩或桩基础等

单桩竖向承载力特征值计算：

根据《建筑地基基础设计规范》（GB 50007-2011），单桩竖向承载力特征值Rₐ可按下式计算：

Rₐ = qₚₖAₚ + u∑qₛᵢₖlᵢ

其中：

• qₚₖ = 桩端阻力特征值，取fₐk=300kPa
• Aₚ = 桩端面积 = π×(1.2/2)² = 1.131 m²
• u = 桩身周长 = π×1.2 = 3.77 m
• qₛᵢₖ = 桩周第i层土的侧摩阻力特征值
• lᵢ = 桩周第i层土的厚度

计算各层土的侧摩阻力：

• 粉质粘土层（0-5m）：u×qₛ₁ₖ×l₁ = 3.77×20×5 = 377 kN
• 粉土层（5-15m）：u×qₛ₂ₖ×l₂ = 3.77×15×10 = 565.5 kN
• 细砂层（15-20m）：u×qₛ₃ₖ×l₃ = 3.77×30×5 = 565.5 kN

总侧摩阻力：377 + 565.5 + 565.5 = 1508 kN

桩端阻力：qₚₖ×Aₚ = 300×1.131 = 339.3 kN

单桩竖向承载力特征值Rₐ = 1508 + 339.3 = 1847.3 kN

桩基础受力特点分析：

1. 桩基础的承载力由桩侧摩阻力和桩端阻力共同提供
2. 本工程中，桩侧摩阻力占总承载力的比例约为81.6%（1508/1847.3），桩端阻力占18.4%
3. 桩侧摩阻力随深度的增加而发挥，但不是线性关系
4. 桩端阻力的发挥需要桩端土发生一定的压缩变形
5. 在荷载作用下，桩身轴力自上而下逐渐减小
6. 桩基础的沉降主要包括桩身压缩和桩端土压缩两部分